2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数      学（理工农医类）

一、             选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.

1.       如果 的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为

A.3               B.5               C.6                 D.10

2.将 的图象按向量a= 平移，则平移后所得图象的解析式为

A.                          B.

C.                        D.

3.设P和Q是两个集合，定义集合P-Q= ，如果P={x|log₂x<1},Q={x||x-2|<1},那么P-Q等于

A．{x|0<x<1}        B.{x|0<x≤1}          C.{x|1≤x<2}            D.{x|2≤x<3}

4.平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m＇和n＇，给出下列四个命题：

①m＇⊥n＇ m⊥n;                       ②m⊥n m＇⊥n＇

③m＇与n＇相交 m与n相交或重合；     ④m＇与n＇平行 m与n平行或重合.

其中不正确的命题个数是

A.1                 B.2                 C.3                     D.4

5.已知p和q是两个不相等的正整数，且q≥2,则

A．0              B.1                C.                     D.

6.若数列{a_n}满足 N*),则称{a_n}为“等方比数列”.

甲：数列{a_n}是等方比数列；乙：数列{a_n}是等比数列.则

A.      甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.      甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.      甲是乙的充要条件

D.     甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

7．双曲线C₁： （a>0,b>0）的左准线为l,左焦点和右焦点分别为F₁和F₂；抛物线C₂的准线为l，焦点为F₂.C₁和C₂的一个交点为M，则 等于

A.-1             B.1                 C.                   D.

8.已知两个等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为A_n和B_n，且 ，则使得 为整数的正整数n的个数是

A.2                B.3                    C.4                   D.5

9.连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为θ，则 的概率是

A.                    B.                 C.              D

10.已知直线 （a,b是非零常数）与圆x²+y²=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有

A.60条                B.66条              C.72条               D.78条

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知函数y=2x-a 的反函数是y=bx+3,则 a=             ;b=             .

12.复数z=a+bi,a,b∈R,且b≠0,若z²-4bz是实数，则有序实数对（a,b）可以是        .(写出一个有序实数对即可)

13.设变量x，y满足约束条件 则目标函数2x+y的最小值为             .

14.某篮球运动员在三分线投球的命中率是 ，他投球10次，恰好投进3个球的概率     .（用数值作答）

15.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为 （a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为              .

（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过      小时后，学生才能回到教室.

三、解答题：本大题共5小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

已知△ABC的面积为3，且满足0≤ ≤6，设 和 的夹角为θ.

（Ⅰ）求θ的取值范围；

（Ⅱ）求函数f(θ)=2sin² 的最大值与最小值.

17.（本小题满分12分）

在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：

（Ⅰ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；

（Ⅱ）估计纤度落在 中的概率及纤度小于1.40的概率是多少；

（Ⅲ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间 的中点值是1.32）作为代表. 据此，估计纤度的期望.

18.（本小题满分12分）

如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，

D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ .

（Ⅰ）求证：平面VAB⊥平面VCD；

（Ⅱ）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取

值范围.

19.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x²=2px(p>0)相交于A、B两点.

（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，

求△ANB面积的最小值；

（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.（此题不要求在答题卡上画图）

20.（本小题满分13分）

已知定义在正实数集上的函数f(x)= x²+2ax，g(x)=3a²lnx+b，其中a>0.设两曲线y=f(x)，y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同.

（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；

（Ⅱ）求证：f(x) ≥g(x)  (x>0).

21.（本小题满分14分）

已知m，n为正整数.

（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)^m≥1+mx；

（Ⅱ）对于n≥6，已知 ，求证 ，m=1,1,2…，n；

（Ⅲ）求出满足等式3ⁿ+4^m+…+(n+2)^m=(n+3)ⁿ的所有正整数n.